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Indice Corso
0. Introduzione
1. Breve storia e unitá di misura
2. Le leggi fondamentali (+)
3. L'analisi dei circuiti (+)
4. L'accumulo di energia (+)


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Fondamenti di elettrotecnica - Capitolo 3
Lezione 05: Analisi per maglie
A cura del dott.ing. Damiano Martorelli

3.5.1 Metodo delle correnti di maglia

Un secondo metodo per l'analisi dei circuiti, per molti aspetti analogo al metodo delle tensioni di nodo, utilizza le correnti di maglia come variabili indipendenti. L'idea è quella di scrivere l'appropriato numero di equazioni, usando le correnti di maglia come variabili. Questo metodo, tuttavia, non è altrettanto ampiamente applicabile come l'analisi per nodi, in quanto esiste una classe di circuiti, chiamati circuiti non-planari, che non si può trattare con l'analisi delle correnti di maglia, mentre possono essere risolti con l'analisi per nodi. L'analisi delle correnti di maglia consiste nel definire le correnti all'intorno delle singole maglie come variabili indipendenti. La successiva applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni all'intorno di ogni maglia fornisce il sistema di equazioni desiderato.

Figura 3.10 Figura 3.11
Figura 3.10 Principio base dell'analisi per maglie. Figura 3.11 Uso della legge di Kirchhoff delle tensioni.

Nel metodo delle correnti di maglia, si osserva che la corrente i che passa attraverso un resistore R in una determinata direzione definisce la polarità della tensione ai capi del resistore, come illustrato in figura 3.10, e che la somma delle tensioni all'interno di un circuito chiuso deve essere eguale a zero in base alla legge di Kirchhoff. Una volta stabilita la convenzione riguardante la direzione di moto della corrente all'intorno di una maglia, la semplice applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni fornisce l'equazione desiderata. Ad esempio, nel circuito di figura 3.11, l'applicazione della legge di Kirchhoff comporta:

v1 = v2 + v3

Il numero di equazioni che si ottengono con questa metodologia è pari al numero di maglie nel circuito. Tutte le correnti e le tensioni di ramo possono, di conseguenza, essere ottenute dalle correnti di maglia, come ora mostreremo. Poiché risulta facile identificare le maglie nel circuito, questo metodo fornisce una procedura efficiente e sistematica per l'analisi dei circuiti elettrici.



3.5.2 I passi fondamentali del Metodo delle correnti di maglia

L'applicazione del metodo ad un circuito lineare richiede i seguenti passi:

  1. Si definisce in maniera consistente ciascuna corrente di maglia. Per comodità, noi definiremo sempre, salvo avviso contrario, le correnti di maglia in senso orario (onde evitare confusione).
  2. Si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni ad ogni maglia, esprimendo ciascuna tensione in termini di una o pi√Ļ correnti di maglia.
  3. Si risolve il sistema di equazioni lineari che si ottiene; le correnti di maglia risultano essere le variabili indipendenti.
Nell'analisi per maglie, è importante scegliere coerentemente la direzione della corrente. Per illustrare il metodo delle correnti di maglia, consideriamo il semplice esempio di figura 3.12. Si tratta di un circuito con due maglie, e dunque si avranno due equazioni in due incognite, le correnti di maglia i1 ed i2.



Figura 3.12 Figura 3.13
Figura 3.12 Circuito a due maglie. Figura 3.13 Assegnazione delle correnti e delle tensioni nella maglia n¬į 1.

E' istruttivo considerare inizialmente ciascuna maglia presa singolarmente. Iniziando con la maglia n¬į 1, si noti come le tensioni nella maglia siano state assegnate in figura 3.13 in base alla direzione della corrente di maglia, i1. Ricordiamo che una volta che si siano assegnati i segni coerentemente, per ogni corrente nel circuito si pu√≤ assumere una direzione arbitraria: se il valore numerico che si ricava dai calcoli √® negativo, significa che la direzione di riferimento scelta √® opposta alla direzione effettiva della corrente. Perci√≤, non bisogna preoccuparsi dell'effettiva direzione della corrente nell'analisi per maglie, una volta assegnate la direzione delle correnti di maglia: la soluzione corretta discender√† dai calcoli, alla fine.

In base alla convenzione di segno, allora, le tensioni v1 e v2 sono definite come mostrato in figura 3.13. Ora, è importante osservare che mentre la corrente di maglia i1 è uguale alla corrente che attraversa il resistore R1 (e perciò è anche la corrente di ramo che attraversa R1), non è uguale alla corrente che passa attraverso R2. La corrente di ramo attraverso R2 è la differenza tra le due correnti di maglia, i1 * i2. Di conseguenza, dal momento che la polarità della tensione v2 è gia stata assegnata, in base alla convenzione sopra discussa, si ha che la tensione v2 è data da:

v2 = (i1 - i2) R2          (3.12)

L'applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni richiede che vS = v1 + v2 dove:

v1 = i1R1           v2 = (i1 - i2) R2

Alla fine, l'espressione completa per la maglia 1 è:

vS = i1R1 + (i1 - i2) R2          (3.13)
Figura 3.14

Figura 3.13 Assegnazione delle correnti
e delle tensioni nella maglia n¬į 2.

La stessa linea di ragionamento si applica alla seconda maglia. La figura 3.14 mostra come sono assegnate le tensioni nella seconda maglia, seguendo la direzione oraria della corrente di maglia i2. La corrente di maglia i2 è anche la corrente di ramo che passa attraverso i resistori R3 e R4; tuttavia, la corrente che passa attraverso il resistore condiviso dalle due maglie, R2, è ora uguale a (i2 * i1), e la tensione ai capi di questo resistore è:

v2 = (i2 - i1) R2          (3.14)

L'applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni richiede che:

0 = v2 + v3 + v4

dove:

v2 = (i2 - i1) R2           v3 = i2 R3           v4 = i2 R4

La completa espressione per la maglia 2 è, quindi:

0 = (i2 - i1) R2 + i2 R3 + i2 R4          (3.15)

Perché l'espressione per v2 ottenuta nell'equazione 3.14 è diversa da quella dell'equazione 3.12? La ragione per questa apparente discrepanza è che l'assegnazione delle tensioni per ciascuna maglia è stata dettata dal verso orario delle correnti di maglia. Pertanto, dal momento che le correnti di maglia attraversano R2 in direzioni opposte, l'assegnazione della polarità della tensione v2 nelle due maglie sarà anch'essa opposta. Ciò è forse una possibile sorgente di confusione nell'applicare il metodo delle correnti di maglia; occorre, perciò, prestare la massima attenzione nell'assegnare separatamente le tensioni in ciascuna maglia. Riordinando e mettendo insieme le equazioni di ciascuna maglia, otteniamo il seguente sistema di equazioni:

(R1 + R2) i1 - R2i2 = vS       (F3.16)
- R2i1 + (R2 + R3 + R4)i2 = 0

Queste equazioni possono essere risolte simultaneamente per ottenere la soluzione desiderata, cioè le correnti di maglia i1 e i2. Si può verificare (e lo si lascia per esercizio) che la conoscenza delle correnti di maglia consente la determinazione di tutte le altre tensioni e correnti nel circuito. I seguenti esempi illustrano ulteriormente alcuni dei dettagli di questo metodo.



3.5.2 Esempio

In questo esempio, analizziamo un semplice circuito a due maglie, mostrato in figura 3.15, per mezzo del metodo delle correnti di maglia. Il circuito di figura 3.15 ci darà due equazioni in due incognite, i1 e i2. Consideriamo le due maglie separatamente nello scrivere le equazioni di maglia; in figura 3.16 sono mostrate le assegnazioni delle tensioni nelle due maglie, in base ai versi assunti per le correnti di maglia. Dalla figura 3.16, scriviamo le equazioni di maglia:

5i1 + 10(i1 - i2) = 10 - 9
5i2 + 5i2 + 10(i2 - i1) = 9 - 1
Figura 3.15
Figura 3.15

Figura 3.16a
Analisi della maglia n¬į 1

Figura 3.16b
Analisi della maglia n¬į 2
Figura 3.16

Riordinando il sistema di equazioni lineari, si ottiene:

15i1 - 10i2 = 1
-10i1 + 10i2 = 8

che può essere risolta, ricavando: i1 = 0.5 A e i2 = 0.65 A.



3.5.3 Esempio

Vogliamo scrivere le equazioni di maglia per il circuito di figura 3.17. Iniziando dalla maglia n¬į 1, applichiamo la legge di Kirchhoff delle tensioni, usando la direzione della corrente di maglia i1 come nostro riferimento per l'assegnazione delle tensioni:


12 = 3(i1 - i3) + 8(i1 - i2)

Per la maglia n¬į 2, otteniamo:


6 = 6(i2 - i3) + 8(i2 - i1)

ed infine, per la maglia n¬į 3, si ha:

Figura 3.17
Figura 3.17

0 = 3(i3 - i1) + 6(i3 - i2) + 4i3

Riordinando i termini e mettendo le equazioni in sistema, si ha:

(3 + 8)i1 - 8i2 - 3i3 = 12
-8i1 + (6 + 8)i2 - 6i3 = 6
-3i1 -6i2 + 3(3 + 6 + 4)i3 = 0

Si può controllare che la legge di Kirchhoff delle correnti è verificata ad ogni nodo; è questo infatti un buon test della correttezza della soluzione.



 
     
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