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Indice Corso
0. Introduzione
1. Breve storia e unitá di misura
2. Le leggi fondamentali (+)
3. L'analisi dei circuiti (+)
4. L'accumulo di energia (+)


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Fondamenti di elettrotecnica - Capitolo 2
Lezione 4: Potenza elettrica e lavoro
A cura del dott.ing. Damiano Martorelli

2.4.1 La potenza elettrica

La definizione di tensione come lavoro per unità di carica si presta per se stessa all'introduzione del concetto di potenza. La potenza è definita come lavoro compiuto nell'unità di tempo. Perciò la potenza P, sia essa generata oppure dissipata da un elemento circuitale, può essere rappresentata dalla seguente relazione:

Potenza = Tensione x Corrente     (F2.9)

Pertanto, la potenza elettrica generata da un elemento attivo, o dissipata o accumulata da un elemento passivo, è uguale al prodotto della tensione (differenza di potenziale) presente ai capi dell'elemento, per la corrente che lo attraversa. In forma analitica:

P = VI     (F2.10)

E' facile verificare che l'unità di misura della tensione (joule/coulomb) moltiplicata per quella della corrente (coulomb/secondo) dà proprio l'unità di misura della potenza (joule/secondo = watt)



2.4.2 Il segno della potenza

E' importante comprendere che, così come la tensione, la potenza è una quantità con segno, e che è necessario fare una distinzione tra potenza positiva e negativa. Questa distinzione può essere compresa facendo riferimento alla figura 2.11, in cui sono mostrati un generatore ed un carico.

Figura 2.11a

Potenza dissipata = v(-i) = (-v)i = -vi
Potenza generata = vi
Figura 2.11b

Potenza dissipata = vi
Potenza generata = v(-i) = (-v)i = -vi
Figura 2.11 Convenzione di segno per un generatore ed un carico

La polarità della tensione ai morsetti del generatore e la direzione della corrente indicano che il generatore di tensione compie lavoro nel muovere la carica da un potenziale più basso ad un potenziale più alto. D'altra parte, il carico dissipa energia, dal momento che la direzione della corrente mostra che la carica è trasferita da un potenziale più alto ad un potenziale più basso. Per evitare confusione sul segno della potenza, si adotta la convenzione di considerare positiva la potenza dissipata dal carico (ovvero la potenza prodotta dal generatore). In altro modo si può esprimere lo stesso concetto dicendo che se la corrente fluisce da un potenziale più alto ad uno più basso (cioè da + a * ), la potenza dissipata sarà una quantità positiva.
    Consideriamo, a titolo di esempio, il circuito in figura 2.12: un generatore indipendente di tensione vs agisce da ingresso sul resistore R1; il generatore comandato di corrente (CCCS) genera, invece, una corrente βi1 , cioè una corrente proporzionale alla corrente i1. Vogliamo determinare la tensione d'uscita v0 ai capi del secondo resistore lineare R2 ed il guadagno di potenza. Sappiamo che al nodo tra i due generatori ed il carico si ha, per la legge di Kirchhoff delle correnti:

Figura 2.12
i3 = i1 + i2 = i1 + βi1 = i1(1 + β)


dal momento che i2 = βi1. Ai capi della resistenza R1 si ha:

v3 = R1i3 = R1(1 + β)i1

mentre ai capi della resistenza R2 si ha:

v0 = R2(-i2) = -R2βi1
Figura 2.12

La potenza fornita dal generatore esterno al circuito è quindi data dalla seguente formula:

p1 = v1i1 = R1(1 + β)i12

La potenza fornita dal circuito al resistore di carico R1 è:

p0 = v0(-i2) = -R2β2i12

Quindi, il guadagno di potenza è:

Formula 2.10 Esempio

Fissato β, si può ottenere il guadagno voluto scegliendo opportunamente i valori di R1 e R2.
    E' importante anche notare che gli effettivi valori numerici delle tensioni e delle correnti non importano: una volta che si è stabilita un'appropriata direzione di riferimento e si è applicata la convenzione sopra esposta in maniera consistente, la soluzione sarà corretta indipendentemente dalla direzione di riferimento scelta. Gli esempi che seguono illustrano questo fatto.



2.4.3 Esempio 1

Vogliamo vedere che qualsiasi sia la direzione di riferimento, la soluzione è la stessa, purché sia applicata consistentemente la convenzione di segno. Il circuito di figura 2.13 consiste in un generatore (la batteria) con due carichi collegati in serie. Assumiamo dapprima arbitrariamente la direzione oraria come direzione della corrente. Calcoliamo la potenza dissipata da ciascun elemento. Poiché la corrente passa dal morsetto negativo a quello positivo nella batteria, la potenza dissipata dalla batteria sarà:

Figura 2.13
vB = 12 V    v1 = 8 V     i = 0.1 A    v2 = 4 V
PB = (-vB)(i) = (-12)(0.1) = -12 W

Come si vede, la batteria genera 1.2 W. Secondo la stessa convenzione, i due carichi dissiperanno potenza secondo le relazioni:

P1 = (v1)(i) = (8)(0.1) = 8 W

P2 = (v2)(i) = (4)(0.1) = 4 W

Pertanto, l'energia si conserva, poiché la potenza netta dissipata nel circuito è zero.

Figura 2.13

Consideriamo ora lo stesso circuito, ma assumiamo ora come verso arbitrario della corrente quello antiorario, come mostrato in figura 2.14. Le tensioni risultanti dalla direzione assunta per la corrente sono mostrate in figura. Si noti che, per conservare la convenzione di segno, i segni delle tensioni sono opposti rispetto a quelli di figura 2.14: la tensione della batteria è ora -12 V, e le tensioni alle estremità dei carichi sono, rispettivamente, -8 V e -4 V. Di conseguenza, in base alla convenzione di segno, la potenza dissipata dalla batteria è:

Figura 2.13
vB = -12 V    v1 = -8 V     i = -0.1 A    v2 = -4 V
PB = (-vB)(i) = -(-12)(-0.1) = -12 W

mentre la potenza dissipata dai carichi è:

P1 = (v1)(i) = (-8)(-0.1) = 8 W

P2 = (v2)(i) = (-4)(-0.1) = 4 W

Come nel caso precedente, la convenzione di segno ci dice che la batteria genera 1.2 W di potenza, che viene dissipata dai due carichi.

Figura 2.14


2.4.3 Esempio 2

Questo esempio illustra come possiamo determinare se un elemento sconosciuto è un generatore o un carico, semplicemente identificando le polarità delle tensioni e le direzioni della corrente. Assumiamo che siano disponibili dei dispositivi che ci consentono di misurare tensioni e correnti nel circuito sconosciuto di figura 2.15. Osservando la figura, determinare quale elemento fornisce energia e quale invece la dissipa.

Figura 2.15 Figura 2.16
Figura 2.15 Figura 2.16

Soluzione:
Osservando l'elemento circuitale B, ci rendiamo conto che questo agisce da generatore, poiché la corrente passa da un punto a più basso potenziale ad un punto a più alto potenziale, come si vede in figura 2.16. Pertanto, la potenza dissipata dall'elemento B è:

PB = (vB)(i) = (100)(-20) = -2000 W = -2 kW

Questo significa che l'elemento B fornisce 2 kW di potenza all'elemento A, che funge, perciò, da carico.



 
     
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